Skip to main content
Download PDF
  • Published:

Zur Mathematik des tierischen Wachstums

II. Vergleich einiger Wachstumsfunktionen

On the mathematics of animal growth

II. Comparison of some growth functions

Helgoländer wissenschaftliche Meeresuntersuchungen volume 25, pages 509–550 (1973)Cite this article

Abstract

The functions of v.Bertalanffy andGompertz and an equation proposed by the author — denoted as “Reziprokfunktion” — are fitted to growth data of tunny (Thunnus thynnus) and North Sea turbot (Scophthalmus maximus). The comparison of the fit of the 3 functions to the given data of fish growth was performed in identical manner by a percentual deviation (s%) based on the difference of the logarithms of measured and calculated values. The optimal fit of the functions was based on linear regression analysis of the functions transformed into a linear relation. The 3 functions seem to be suitable for the reproduction of growth curves. In all cases the “Reziprokfunktion” delivered the best results. The logistic function produced no satisfactory approximations. It is not possible to give a biological explanation for the parameters of the functions. TheGompertz-function and the “Reziprokfunktion” contain a point of inflection and may therefore be used in unchanged form for the description of weight growth. The point of inflection represents a mathematical deduction of the curvature of the logarithmic growth curve. It is only the “Reziprokfunktion” which allows to express a mathematically defined relation to the allometric formula.

Zusammenfassung

1. An Wachstumsdaten für den Thunfisch(Thunnus thynnus) und den Nordsee-Steinbutt(Scophthalmus maximus) wird ein numerischer Vergleich der Wachstumsformeln von v.Bertalanffy (1934),Gompertz (1824) und einer vom Autor vorgeschlagenen Funktion (Krüger 1962, 1965), die als Reziprokfunktion bezeichnet wird, durchgeführt.

2. Die Ermittlung der optimalen Parameterwerte erfolgt an den linealisierten Funktionen auf dem Wege der Regressionsberechnung.

3. Als objektives quantitatives Maß für die Streuung der Meßwerte um die theoretischen Werte dient eine in Prozent ausgedrückte Standardabweichung (s%), die auf der Summe der quadrierten Differenzen der Logarithmen beruht.

4. Die drei geprüften Funktionen erscheinen zur mathematischen Wiedergabe von Wachstumsdaten geeignet. In allen Fällen ergab die Reziprokfunktion die besten Näherungen. Die logistische Funktion lieferte so unbefriedigende Ergebnisse, daß sie unberücksichtigt blieb.

5. Es wurde ein Vergleich der optimalen Parameterwerte der Funktionen durchgeführt. Eine biologische Deutung erscheint nicht zulässig. Es handelt sich bei ihnen um rein mathematische Zahlenwerte.

6. Die Reziprokfunktion enthält, ebenso wie dieGompertz-Funktion einen asymmetrischen — im Anfangsteil der Kurve gelegenen — Wendepunkt. Hierdurch besitzen beide Funktionen einen universelleren Anwendungsbereich und sind in unveränderter Form geeignet, auch Gewichtsdaten, die einen Wendepunkt einschließen, wiederzugeben. DieBertalanffy-Funktion ist durch das Fehlen eines Wendepunktes nur für die Darstellung des Kurvenbereiches nach dem Wendepunkt mit fallenden Wachstumsraten geeignet.

7. Der Wendepunkt in linearen Wachstumskurven ergibt sich als rein mathematische Folgerung aus der kontinuierlichen Abnahme der relativen Wachstumsgeschwindigkeit.

8. Der besondere Vorzug der Reziprokfunktion besteht darin, daß sie in eine mathematisch ableitbare Beziehung zur allometrischen Funktion gesetzt werden kann. DieGompertz-Funktion liefert hierfür nur eine Näherungslösung.

Abbreviations

a:

Ordinatenabschnitt der Gleichung einer Geraden

b:

Steigung der Gleichung einer Geraden

B:

Exponent derGompertz-Funktion

β :

Exponent der allometrischen Funktion

C:

Geschwindigkeitskonstante derGompertz-Funktion

e:

Basis der naturlichen Logarithmen

k:

Geschwindigkeitskonstante der logistischen Funktion

K:

Geschwindigkeitskonstante derBertalanffy-Funktion

l:

Länge

L∞ :

Maximal-Länge

log:

dekadischer Logarithmus

ln:

natürlicher Logarithmus

n:

Anzahl

N:

Geschwindigkeitskonstante der Reziprokfundtion

r:

Korrelationskoeffizient

s:

Standardabweichung

slog:

Standardabweichung der Logarithmen

s%:

prozentuale Standardabweichung

S:

Summe der Abweichungsquadrate

τ :

Zeit oder Geburtsalter

χ :

Geburtsalter

w:

Gewicht

W∞ :

Maximalgewicht

x:

unabhängige Variabele (Argument)

y:

abhängige Variabele

Y∞ :

Maximaldimension

ξ :

additiver Zeitwert der Reziprokfunktion

Zitierte literatur

  • Allen, K. R., 1966. A method of fitting growth curves of theBertalanffy type to observed data. J. Fish. Res. Bd Can.23, 163–179.

    Google Scholar 

  • Bagenal, T. B., 1955. The growth rate of the long rough dabHippoglossoides platessoides. J. mar. biol. Ass. U. K.34, 297–311.

    Google Scholar 

  • —— 1966. The growth rate of the long rough dabHippoglossoides platessoides. — A correction. J. mar. biol. Ass. U. K.34, 643–647.

    Google Scholar 

  • Bertalanffy, L. von, 1934. Untersuchungen über die Gesetzlichkeit des Wachstums. 1. Allgemeine Grundlagen der Theorie. Wilhelm Roux. Arch. EntwMech. Org.131, 613–653.

    Google Scholar 

  • —— 1951. Theoretische Biologie. Francke, Bern2, 1–418.

    Google Scholar 

  • —— 1960. Principles an theory of growth. In: Fundamental aspects of normal and malignant growth. Ed. byW. W. Nowinski. Elsvier, Amsterdam, 137–259.

    Google Scholar 

  • —— 1968. General system theory. Braziller, New York, 289 pp.

    Google Scholar 

  • Beverton, R. J. H. &Holt, S. J., 1957. On the dynamics of exploited fish populations. Fishery Invest., Lond. (Ser. 2)19, 1–533.

    Google Scholar 

  • Brody, S., 1945. Bioenergetics and growth. Reinhold, New York, 1023 pp.

    Google Scholar 

  • Ford, E., 1933. An account of the herring investigations conducted at Plymouth during the years from 1924–1933. J. mar. biol. Ass. U. K.19, 305–384.

    Google Scholar 

  • Gompertz, B., 1825. On the nature of the function expressive of the law of human mortality. Phil. Trans. R. Soc.36, 513–585.

    Google Scholar 

  • Hoeppe, K., 1959. Das reaktionskinetische Grundgesetz auf das Wachstum bezogen und anderen Wachstumsformulierungen gegenübergestellt. Diss. Univ. Gießen, 201 pp.

  • Hohendorf, K., 1966. Eine Diskussion derBertalanffy-Funktion und ihre Anwendung zur Charakterisierung des Wachstums von Fischen. Kieler Meeresforsch.22, 70–97.

    Google Scholar 

  • Kretschmann, H.-J. &Wingert, F., 1971. Computeranwendung bei Wachstumsproblemen in Biologie und Medizin. Springer, Berlin, 261 pp.

    Google Scholar 

  • Krüger, F., 1962. Über die mathematische Darstellung des tierischen Wachstums. Naturwissenschaften49, 454.

    Google Scholar 

  • —— 1964. Mathematische Ableitung der allometrischen Wachstumsfunktion. Zool. Anz. (Suppl.)27, 249–253.

    Google Scholar 

  • —— 1965. Zur Mathematik des tierischen Wachstums. I. Grundlagen einer neuen Wachstumsfunktion. Helgoländer wiss. Meeresunters.12, 78–136.

    Google Scholar 

  • —— 1967a. Zur mathematischen Wiedergabe des Rattenwachstums. Zool. Anz. (Suppl.)30, 587–599.

    Google Scholar 

  • —— 1967b.Bertalanffy-Funktion undFord-Walford-Formel. Helgoländer wiss. Meeresunters.16, 193–206.

    Google Scholar 

  • —— 1969. Das asymptotische Wachstum der Fische — ein Nonsens? Helgoländer wiss. Meeresunters.19, 205–215.

    Google Scholar 

  • —— 1970a. Zum Problem der Allometrie-Summation. Biol. Zbl.89, 65–85.

    Google Scholar 

  • —— 1970b. Probleme der mathematischen Darstellung des Fischwachstums. Ber. dt. wiss. Kommn Meeresforsch.21, 224–233.

    Google Scholar 

  • —— 1972. Zur mathematischen Beschreibung des menschlichen Embryonalwachstums. Acta anat.82, 198–217.

    Google Scholar 

  • Mansueti, R., 1958. Eggs, larvae and young of the stripped bass,(Roccus saxatilis). Contr. Chesapeake biol. Lab.112, 1–35.

    Google Scholar 

  • Mengi, T., 1963. Über das Wachstum des Steinbutts (Scophthalmus maximus L.) in der Nordsee. Ber. dt. wiss. Kommn Meeresforsch.17, 119–132.

    Google Scholar 

  • Pütter, A., 1920. Wachstumsähnlichkeiten. Pflügers Arch. ges. Physiol.180, 298–340.

    Google Scholar 

  • Rae, B. B., 1957. A preliminary account of the turbot in Scottish waters. Scott. Fish. Bull.8.

  • Rafail, S. Z., 1973. A simple and precise method for fitting a vonBertalanffy growth curve. Mar. Biol.19, 354–358.

    Google Scholar 

  • Sachs, L., 1969. Statistische Auswertungsmethoden. Springer, Berlin, 677 pp.

    Google Scholar 

  • Sella, M., 1929. Migrazioni e habitat del tonno(Thunnus thynnus) studiati col metodo degli ami, con osservazioni su l'accrescimento. Memorie R. Com. talassogr. ital.156, 1–24.

    Google Scholar 

  • Thompson, d'Arcy W., 1952. On growth and form. Univ. Press, Cambridge1, 1–464.

    Google Scholar 

  • Tomlinson, P. K. &Abramson, N. J., 1961. Fitting a vonBertalanffy growth curve by the least squares. Fish. Bull. Calif.116, 1–69.

    Google Scholar 

  • Verhulst, P. F., 1838. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Corresp. math.10, 113–121.

    Google Scholar 

  • Walford, L. A., 1946. A new graphic method of describing the growth of animals. Biol. Bull. mar. biol. Lab., Woods Hole90, 141–147.

    Google Scholar 

  • Winsor, C. P., 1932. TheGompertz curve as a growth curve. Proc. natn Acad. Sci. U.S.A.18, 1–8.

    Google Scholar 

  • Zotina, R. S. &Zotn, A. I., 1972. Towards a phenomenological theory of growth. J. theor. Biol.35, 213–225.

    Google Scholar 

  • Zucker, L. &Zucker, T. F., 1941. A simple time weight relation observed in well nourished rats. J. gen. Physiol.25, 445–463.

    Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Biologische Anstalt Helgoland (Zentrale), Hamburg 50, Bundesrepublik Deutschland

    F. Krüger

Authors
  1. F. Krüger
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Additional information

Gewidmet dem Gedenken des am 12. Juni 1972 verschiedenen ProfessorsLudwig von Bertalanffy als einem hervorragenden Vorkämpfer für die mathematische Behandlung biologischer Probleme.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Krüger, F. Zur Mathematik des tierischen Wachstums. Helgolander Wiss. Meeresunters 25, 509–550 (1973). https://doi.org/10.1007/BF01612886

Download citation

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF01612886

Helgoland Marine Research

ISSN: 1438-3888

Contact us